高中數學復數的幾何意義測試題

　　一、選擇題

　　1．如果復數a＋bi(a，bR)在復平面內的對應點在第二象限，則()

　　A．a0，b0

　　B．a0，b0

　　C．a0，b0

　　D．a0，b0

　　[答案] D

　　[解析] 復數z＝a＋bi在復平面內的對應點坐標為(a，b)，該點在第二象限，需a0且b0，故應選D.

　　2．(2010北京文，2)在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()

　　A．4＋8i

　　B．8＋2i

　　C．2＋4i

　　D．4＋i

　　[答案] C

　　[解析] 由題意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中點C(x，y)，則x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，

　　點C對應的復數為2＋4i，故選C.

　　3．當231時，復數z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面上對應的點位于()

　　A．第一象限

　　B．第二象限

　　C．第三象限

　　D．第四象限

　　[答案] D

　　[解析] ∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0，

　　點(3m－2，m－1)在第四象限．

　　4．復數z＝－2(sin100－icos100)在復平面內所對應的點Z位于()

　　A．第一象限

　　B．第二象限

　　C．第三象限

　　D．第四象限

　　[答案] C

　　[解析] z＝－2sin100＋2icos100.

　　∵－2sin1000,2cos1000，

　　Z點在第三象限．故應選C.

　　5．若a、bR，則復數(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對應的點在()

　　A．第一象限

　　B．第二象限

　　C．第三象限

　　D．第四象限

　　[答案] D

　　[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5

　　＝－(b－2)2－10.所以對應點在第四象限，故應選D.

　　6．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，則以下結論中正確的是()

　　A．z對應的點在第一象限

　　B．z一定不是純虛數

　　C．z對應的點在實軸上方

　　D．z一定是實數

　　[答案] C

　　[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，選C.

　　7．下列命題中假命題是()

　　A．復數的模是非負實數

　　B．復數等于零的充要條件是它的模等于零

　　C．兩個復數模相等是這兩個復數相等的必要條件

　　D．復數z1z2的充要條件是|z1|＞|z2|

　　[答案] D

　　[解析] ①任意復數z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20總成立．A正確；

　　②由復數相等的條件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正確；

　　③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R)

　　若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2|

　　反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，

　　如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時|z1|＝|z2|，故C正確；

　　④不全為零的兩個復數不能比較大小，但任意兩個復數的模總能比較大小，D錯．

　　8．已知復數z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，則實數x的取值范圍是()

　　A．－452

　　B．x2

　　C．x－45

　　D．x＝－45或x＝2

　　[答案] A

　　[解析] 由題意知(x－1)2＋(2x－1)210，

　　解之得－452.故應選A.

　　9．已知復數z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，則實數b適合的條件是()

　　A．b－1或b1

　　B．－11

　　C．b1

　　D．b0

　　[答案] B

　　[解析] 由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，

　　b21，則－11.

　　10．復平面內向量OA表示的復數為1＋i，將OA向右平移一個單位后得到向量OA，則向量OA與點A對應的復數分別為()

　　A．1＋i,1＋i

　　B．2＋i,2＋i

　　C．1＋i,2＋i

　　D．2＋i,1＋i

　　[答案] C

　　[解析] 由題意OA＝OA，對應復數為1＋i，點A對應復數為1＋(1＋i)＝2＋i.

　　二、填空題

　　11．如果復數z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)對應的點在第一象限，則實數m的取值范圍為________________．

　　[答案] －，－1－5232，＋

　　[解析] 復數z對應的點在第一象限

　　需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.

　　12．設復數z的`模為17，虛部為－8，則復數z＝________.

　　[答案] 15－8i

　　[解析] 設復數z＝a－8i，由a2＋82＝17，

　　a2＝225，a＝15，z＝15－8i.

　　13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若復數z對應點位于復平面上的第二象限，則m的取值范圍是________．

　　[答案] 35

　　[解析] 將復數z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i

　　∵復數z對應點位于復平面上的第二象限

　　m2－8m＋150m2－m－60解得35.

　　14．若tR，t－1，t0，復數z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范圍是________．

　　[答案] [2，＋)

　　[解析] |z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2.

　　|z|2.

　　三、解答題

　　15．實數m取什么值時，復平面內表示復數z＝2m＋(4－m2)i的點

　　(1)位于虛軸上；

　　(2)位于一、三象限；

　　(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上．

　　[解析] (1)若復平面內對應點位于虛軸上，則2m＝0，即m＝0.

　　(2)若復平面內對應點位于一、三象限，則2m(4－m2)0，解得m－2或02.

　　(3)若對應點位于以原點為圓心，4為半徑的圓上，

　　則4m2＋(4－m2)2＝4

　　即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2.

　　16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，對于任意的xR，均有|z1||z2|成立，試求實數a的取值范圍．

　　[解析] |z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|

　　因為|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|

　　x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．

　　不等式等價于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0

　　解得－112

　　所以a的取值范圍為－1，12.

　　17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，當為何值時

　　(1)z1＝z2；

　　(2)z1，z2對應點關于x軸對稱；

　　(3)|z2|2.

　　[解析] (1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos

　　tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)．

　　(2)z1與z2對應點關于x軸對稱

　　cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos

　　＝2k＋76Z)．

　　(3)|z2|(3sin)2＋cos22

　　3sin2＋cos22sin212

　　－k4(kZ)．

　　18．已知復數z1＝3－i及z2＝－12＋32i.

　　(1)求|z1|及|z2|的值并比較大小；

　　(2)設zC，滿足條件|z2||z1|的點Z的軌跡是什么圖形？

　　[解析] (1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2

　　|z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|.

　　(2)由|z2||z1|，得12.

　　因為|z|1表示圓|z|＝1外部所有點組成的集合．

　　|z|2表示圓|z|＝2內部所有點組成的集合，

　　12表示如圖所示的圓環．

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